On peut également rédiger le calcul du PGCD de la façon suivante: 68 - 24 = 44 44 - 24 = 20 24 - 20 = 4 20 - 4 = 16 16 - 4 = 12 12 - 4 = 8 8 - 4 = 4 La première étape consiste à faire la différence entre les deux nombres dont on cherche le PGCD. Ensuite, on effectue une succession de soustractions entre les deux nombres touchant le signe "=" de chaque équation, de sorte que le signe de cette différence soit positif. On s'arrête lorsqu'on obtient deux nombres identiques de part et d'autres du signe "=". Dans l'exemple, il s'agit de 4 (en caractère gras). Par conséquent, le PGCD de 68 et 24 est égal à 4. 2) Méthode par l'algorithme d'Euclide La méthode de l'algorithme d'Euclide permet d'accélérer la méthode précédente. Théorème Si \(a=bq+r\), alors \(PGCD(a, b)=PGCD(b, r)\). Exemple 8: En reprenant l'exemple 7 du calcul du PGCD entre 68 et 24: 68 = 24 × 2 + 20 24 = 20 × 1 + 4 20 = 4 × 5 + 0 Le PGCD est le dernier reste non nul, soit 4 (en caractère gras). Par rapport à la méthode par soustractions successives, on gagne du temps: il n'y a en effet que 3 lignes de calcul au lieu de 7.
Méthode de calcul de PGCD 1: lister les diviseurs des nombres et trouver le plus grand diviseur commun. Exemple: PGCD des nombres 10 et 12. 10 a pour liste de diviseurs 1, 2, 5, 10 12 a pour liste de diviseurs 1, 2, 3, 4, 6, 12 Le plus grand commun diviseur à ces listes est 2 (le plus grand nombre présent dans toutes les listes). Donc PGCD(10, 12) = 2 Méthode de calcul de PGCD 2: utiliser l'algorithme d'Euclide (méthode préférée pour les calculatrice) Etape 1. Réaliser une division euclidienne du plus grand des deux nombres A par le second B, pour trouver un dividende D et un reste R. Conserver les nombres B et R. Etape 2. Répéter l'étape 1 (avec les nombres conservés: B devient le nouveau A et R devient le nouveau B) jusqu'à arriver à un reste nul. Etape 3. Le PGCD des nombres A et B de départ est égal au dernier reste non nul. Exemple: A=12, B=10, calculer (étape 1) A/B = 12/10 = 1 reste R=2 (étape 2) 10/2 = 5 reste 0, le reste est nul. (étape 3) Le PGCD est le dernier reste non nul: 2.
La série 6 des exercices sur le calcul du pgcd de deux entiers en utilisant l'algorithme d'Euclide ou des soustractions pouvez télécharger en PDF tous ces exercices avec leur correction détaillée. Problème du patissier et arithmétique Un pâtissier dispose de 411 framboises et de 685 fraises. Afin de préparer des tartelettes, il désire répartir ces fruits en les utilisant tous et en obtenant le maximum de tartelettes identiques.. Calculer le nombre de tartelettes. 2. Calculer le nombre de framboises et de fraises dans chaque tartelette. Corrigé de cet exercice Problème du fleuriste Un fleuriste a reçu 1 105 oeillets et 935 iris. Il souhaite confectionner un nombre maximal de bouquets de la manière suivante: – chaque bouquet doit avoir le même nombre d'iris; – chaque bouquet doit avoir le même nombre d'oeillets; – tous les oeillets et tous les iris doivent être utilisés. 1. Combien de bouquets le fleuriste pourra-t-il constituer? 2. Quelle sera la constitution de chaque bouquet? Problème d'arithmétique et de calcul de pgcd.
Exemple 3: Cherchons tous les diviseurs de 210. \(\sqrt{210}\approx 14. 49\), par conséquent, on va tester tous les premiers entiers jusqu'à 14. 210 ÷ 1 = 210 donc 1 est un diviseur de 210. 210 est aussi un diviseur de 210 car 210 ÷ 210 = 1. 210 ÷ 2 = 105 donc 2 est un diviseur de 210. 105 est aussi un diviseur de 210 car 210 ÷ 105 = 2. 210 ÷ 3 = 70 donc 3 et 70 sont des diviseurs de 210. 210 ÷ 4 = 52. 5 donc 4 n' est pas un diviseur de 210. 210 ÷ 5 = 42 donc 5 et 42 sont des diviseurs de 210. 210 ÷ 6 = 35 donc 6 et 35 sont des diviseurs de 210. 210 ÷ 7 = 30 donc 7 et 30 sont des diviseurs de 210. 210 ÷ 8 = 26. 25 donc 8 n' est pas un diviseur de 210. 210 ÷ 9 ≈ 23. 33 donc 9 n' est 210 ÷ 10 = 21 donc 10 et 21 sont des diviseurs de 210. 210 ÷ 11 ≈ 19. 09 donc 11 n' est 210 ÷ 12 = 17. 5 donc 12 n' est pas un diviseur de 210 ÷ 13 ≈ 16. 15 5 donc 13 n' est pas un diviseur de 210 ÷ 14 = 15 donc 15 et 14 sont des diviseurs de 210. Conclusion: tous les diviseurs de 210 sont: 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15, 21, 30, 35, 42, 70, 105 et 210.
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