En particulier, comme 2 est dans l'intervalle $[0, 5;+∞[$, et que $t$ la tangente à $\C_f$ en 2, on en déduit que $\C_f$ est au dessus de $t$ sur l'intervalle $[0, 5;+∞[$. IV Dérivée et point d'inflexion Le point A est un point d'inflexion de la courbe $\C_f$ lorsque $\C_f$ y traverse sa tangente $t$. Si $f"$ s'annule en $c$ en changeant de signe, alors le point $A(c;f(c))$ est un point d'inflexion de $\C_f$. Soit $f$ définie sur $\ℝ$ par $f(x)=x^3$. Montrer que $\C_f$ admet un point d'inflexion en 0. La dérivée seconde d'une fonction et ses applications - Maxicours. $f\, '(x)=3x^2$. $f"(x)=6x$. $6x$ est une fonction linéaire qui s'annule pour $x=0$. Son coefficient directeur 6 est strictement positif. $f"$ s'annule en $0$ en changeant de signe, par conséquent, $\C_f$ admet un point d'inflexion en $0$. A quoi peut servir la convexité d'une fonction $f$? La convexité permet de déterminer la position de $\C_f$ par rapport à ses tangentes. Le changement de convexité permet de repérer les points d'inflexion de $\C_f$.
I. Fonction convexe - Fonction concave Définition Soient f f une fonction dérivable sur un intervalle I I et C f \mathscr C_{f} sa courbe représentative. On dit que f f est convexe sur I I si la courbe C f \mathscr C_{f} est au-dessus de toutes ses tangentes sur l'intervalle I I. On dit que f f est concave sur I I si la courbe C f \mathscr C_{f} est au-dessous de toutes ses tangentes sur l'intervalle I I. Exemples Fonction convexe (et quelques tangentes... ) Fonction concave (et quelques tangentes... ) Théorème Si f f est dérivable sur I I: f f est convexe sur I I si et seulement si f ′ f^{\prime} est croissante sur I I f f est concave sur I I si et seulement si f ′ f^{\prime} est décroissante sur I I Remarque L'étude de la convexité se ramène donc à l'étude des variations de f ′ f^{\prime}. Si f ′ f^{\prime} est dérivable, on donc est amené a étudier le signe la dérivée de f ′ f^{\prime}. Cette dérivée s'appelle la dérivée seconde de f f et se note f ′ ′ f^{\prime\prime}. Dérivation, dérivées usuelles, théorème des valeurs intermédiaires | Cours maths terminale ES. Si f f est dérivable sur I I et si f ′ f^{\prime} est dérivable sur I I (on dit aussi que f f est 2 fois dérivable sur I I): f f est convexe sur I I si et seulement si f ′ ′ f^{\prime\prime} est positive ou nulle sur I I f f est concave sur I I si et seulement si f ′ ′ f^{\prime\prime} est négative ou nulle sur I I La fonction f: x ↦ x 2 f: x \mapsto x^{2} est deux fois dérivable sur R \mathbb{R}.
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